Question

16．如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF，∠BCF=$\frac{π}{2}$，AD=$\sqrt{3}$，EF=2．
（1）求证：AE∥平面DCF；
（2）若$BE=\sqrt{3}-1$，且$\frac{AB}{BE}$=λ，当λ取何值时，直线AE与BF所成角的大小为60⁰？

Answer 1

分析 （1）推导出面ABE∥面CDF，由此能证明AE∥面CDF．
（2）以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，利用向量法能求出当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．

解答 证明：（1）∵BE∥CF，AB∥CD，且BE∩AB=B，FC∩CD=C，
∴面ABE∥面CDF，
又AE?面ABE，∴AE∥面CDF．
解：（2）∵∠BCF=$\frac{π}{2}$，且面ABCD⊥面BEFC，∴FC⊥面ABCD
以C为坐标原点，以CB，CD，CF分别为x，y，z轴建系，
∵$BE=\sqrt{3}-1$，且$\frac{AB}{BE}$=λ，∴AB=（$\sqrt{3}-1$）λ，
∴A（$\sqrt{3}$，（$\sqrt{3}-1$）λ，0），E（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}-1$），F（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（0，（1-$\sqrt{3}$）λ，$\sqrt{3}-1$），$\overrightarrow{BF}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
∵直线AE与BF所成角的大小为60°，
∴cos60°=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{\sqrt{6}•\sqrt{（\sqrt{3}-1）^{2}+（1-\sqrt{3}）^{2}{λ}^{2}}}$，
由λ＞0，解得λ=1，
∴当λ取1时，直线AE与BF所成角的大小为60°．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线段比值使线线角为60°的确定，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．