Question

1．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为（　　）

• A． 9
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 根据平均数的定义求出a+b=2，再利用基本不等式求出$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$的最小值即可．

解答 解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为
$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$（a+11+13+20+b）=11.5，
∴a+b=2；
∴$\frac{4}{a}+\frac{1}{b}$=$\frac{2（a+b）}{a}$+$\frac{a+b}{2b}$=2+$\frac{2b}{a}$+$\frac{a}{2b}$+$\frac{1}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{a}{2b}}$+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，
当且仅当a=2b，即a=$\frac{4}{3}$，b=$\frac{2}{3}$时取“=”；
∴$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{b}$的最小值为$\frac{9}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了平均数的定义与基本不等式的应用问题，是基础题目．