Question

10．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点$A（{5\sqrt{2}，0}），B（{0，5}）$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知圆M：x²+（y-5）²=9，双曲线G与椭圆C有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，（m，n＞0，m≠n），代入点的坐标，解得m，n，进而得到椭圆的方程；
（Ⅱ）设双曲线G的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），运用焦点坐标，以及直线和圆相切的条件：d=r，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为mx²+ny²=1，（m，n＞0，m≠n），
由题意可得50m=1，25n=1，
解得m=$\frac{1}{50}$，n=$\frac{1}{25}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1；
（Ⅱ）设双曲线G的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0），
由题意可得a²+b²=25，
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
圆M：x²+（y-5）²=9的圆心为（0，5），半径为3．
由直线和圆相切的条件：d=$\frac{|5a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=3，
解得a=3，b=4，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查双曲线的方程的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，考查运算能力，属于基础题．