Question

15．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点F与抛物线C₁：y²=4x的焦点重合，且点A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$）是两曲线的一个交点，过焦点F作一条直线l交椭圆C于M，N两点
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-7，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得a²-b²=1，再将A的坐标代入椭圆方程，解方程即可得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程8x²+9y²=72，消去x，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）抛物线C₁：y²=4x的焦点为（1，0），
即有a²-b²=1，
代入点A（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{6}$），可得$\frac{9}{4{a}^{2}}$+$\frac{6}{{b}^{2}}$=1，
解得a=3，b=2$\sqrt{2}$，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）F（1，0），设直线l的方程为x=my+1，
代入椭圆方程8x²+9y²=72，
可得（9+8m²）y²+16my-64=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
即有y₁+y₂=-$\frac{16m}{9+8{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{64}{9+8{m}^{2}}$，
由x₁x₂=（my₁+1）（my₂+1）=m²y₁y₂+m（y₁+y₂）+1，
即有$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=（1+m²）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1
=（1+m²）•（-$\frac{64}{9+8{m}^{2}}$）+m（-$\frac{16m}{9+8{m}^{2}}$）+1=-7，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即有直线l的方程为x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$y+1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和a，b，c的关系，考查直线方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，运用韦达定理以及向量的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题．