Question

4．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中$0＜a＜\frac{π}{2}$）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：$θ=α+\frac{π}{2}$与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由直线的直角坐标方程能求出直线l的极坐标方程，由圆C的参数方程，能求出圆C的普通方程，从而能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）求出点P，M的极坐标，从而$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{2}$，$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$，由此能求出$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值是$\frac{1}{16}$．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的方程是y=8，∴直线l的极坐标方程是ρsinθ=8．
∵圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\\ y=2+2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），
∴圆C的普通方程分别是x²+（y-2）²=4，
即x²+y²-4y=0，
∴圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．…．（5分）
（Ⅱ）依题意得，点P，M的极坐标分别为$\left\{\begin{array}{l}{ρ=4sinα}\\{θ=α}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{ρsinα=8}\\{θ=α}\end{array}\right.$，
∴|OP|=4sinα，|OM|=$\frac{8}{sinα}$，
从而$\frac{|OP|}{|OM|}$=$\frac{4sinα}{\frac{8}{sinα}}$=$\frac{si{n}^{2}α}{2}$．
同理，$\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{2}•\frac{si{n}^{2}（α+\frac{π}{2}）}{2}$=$\frac{si{n}^{2}（2α）}{16}$，
故当$α=\frac{π}{4}$时，$\frac{|OP|}{|OM|}$•$\frac{|OQ|}{|ON|}$的值最大，该最大值是$\frac{1}{16}$．…（10分）

点评 本题考查与线与圆的杉坐标方程的求法，考查两组线段比值的乘积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．