Question

13．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且与x轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，直线AF₂与椭圆的另一个交点为C，若△ABF₂的面积是△BCF₂的面积的2倍，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{5}$
• D． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$

Answer 1

分析 设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），设x=-c，代入椭圆方程，求得A的坐标，设出C（x，y），由△ABF₂的面积是△BCF₂的面积的2倍，可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，运用向量的坐标运算可得x，y，代入椭圆方程，运用离心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：设椭圆的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
由x=-c，代入椭圆方程可得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可设A（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），C（x，y），
由△ABF₂的面积是△BCF₂的面积的2倍，
可得$\overrightarrow{A{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}C}$，
即有（2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$）=2（x-c，y），
即2c=2x-2c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$=2y，
可得x=2c，y=-$\frac{{b}^{2}}{2a}$，
代入椭圆方程可得，$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{4{a}^{2}}$=1，
由e=$\frac{c}{a}$，b²=a²-c²，
即有4e²+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4}$e²=1，
解得e=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和向量的共线的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．