Question

19．设ξ为随机变量，从边长为1的正方体12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱异面时，ξ=1；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离，则数学期望Eξ=$\frac{{6+\sqrt{2}}}{11}$．

Answer 1

分析 从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，共有${C}_{12}^{2}$种方法，若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，共有8${C}_{3}^{2}$对相交棱，两条棱平行，则它们的距离为1或$\sqrt{2}$，其中距离为$\sqrt{2}$的共有6对，由此能求出数学期望Eξ．

解答 解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，
∴共有8${C}_{3}^{2}$对相交棱，
∴P（ξ=0）=$\frac{8{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{4}{11}$，
若两条棱平行，则它们的距离为1或$\sqrt{2}$，其中距离为$\sqrt{2}$的共有6对，
∴P（ξ=$\sqrt{2}$）=$\frac{6}{{C}_{12}^{2}}$=$\frac{1}{11}$，
P（ξ=1）=1-P（ξ=0）-P（ξ=$\sqrt{2}$）=$\frac{6}{11}$，
∴随机变量ξ的数学期望E（ξ）=1×$\frac{1}{11}$+$\sqrt{2}$×$\frac{6}{11}$=$\frac{{6+\sqrt{2}}}{11}$．
故答案为：$\frac{{6+\sqrt{2}}}{11}$．

点评 本题考查数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间几何体的性质的合理运用．