Question

9．设a、b是实数，则（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$的最小值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 构造函数y=（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$，利用转化法转化为一元二次方程，利用判别式△≥0进行转化求解即可．

解答 解：设y=（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$，
即（a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$-y=0，
即a²+（2-4b）a+$\frac{17}{4}$b²-5b+$\frac{5}{2}$-y=0，
以a为变量，有实数解的条件是它的判别式△≥0，
即（2-4b）²-4（$\frac{17}{4}$b²-5b+$\frac{5}{2}$-y）≥0，
即-b²+4b-6+4y≥0，
即4y≥b²-4b+6=（b-2）²+2，
∴当b=2时，（b-2）²+2取得最小值2，
此时4y有最小值2，即y取得最小值y=$\frac{1}{2}$，
故a-2b）²+$\frac{1}{4}$b²-5b+2a+$\frac{5}{2}$的最小值为$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查最值的求解，根据条件构造函数，转化为一元二次方程是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．