Question

20．已知正项数列{a_n}的前n项和S_n满足：4S_n=（a_n-1）（a_n+3），（n∈N^*）
（1）求a_n；
（2）若b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，可判断出数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，从而求a_n；
（2）化简b_n=2ⁿ•a_n=（2n+1）2ⁿ，从而利用错位相减法求数列的前n项和，从而解得．

解答 解：（1）当n=1时，
4a₁=（a₁-1）（a₁+3），
解得，a₁=3或a₁=-1（舍去）；
当n≥2时，4S_n=（a_n-1）（a_n+3），
4S_n+1=（a_n+1-1）（a_n+1+3），
两式作差可得，
4a_n+1=（a_n+1-1）（a_n+1+3）-（a_n-1）（a_n+3），
即（a_n+a_n+1）（a_n+1-a_n-2）=0，
故a_n+1=a_n+2，
故数列{a_n}是以3为首项，2为公差的等差数列，
故a_n=2n+1；
（2）故b_n=2ⁿ•a_n=（2n+1）2ⁿ，
故T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n+1）2ⁿ，
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
故T_n=-6-2×2²-2×2³-2×2⁴-…-2ⁿ⁺¹+（2n+1）2ⁿ⁺¹，
=（2n+1）2ⁿ⁺¹-（2+4+8+16+…+2ⁿ⁺¹）
=（2n+1）2ⁿ⁺¹-$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$
=（n-1）2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及错位相减法的应用，同时考查了转化思想的应用．