Question

15．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4$\sqrt{5}$，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$．
（I）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在m，使$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）运用向量的加减运算，可得λ=3，由题意可得P（0，m），且-2＜m＜2，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用向量共线的坐标表示和直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得m²=$\frac{4+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=1+$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，再由不等式的性质，可得所求范围．

解答 解：（I）设椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，4$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$，可得$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$=λ（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OP}$），
$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=（1+λ）$\overrightarrow{OP}$，
由$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$=4$\overrightarrow{OP}$，可得λ=3，
由题意可得P（0，m），且-2＜m＜2，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{AP}$=3$\overrightarrow{PB}$，可得-x₁=3x₂，①
由直线y=kx+m代入椭圆方程y²+4x²=4，
可得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
即有x₁+x₂=-$\frac{2km}{4+{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{m}^{2}-4}{4+{k}^{2}}$，②
由①②可得m²=$\frac{4+{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$=1+$\frac{3}{1+{k}^{2}}$，
由1+k²≥1，可得0＜$\frac{3}{1+{k}^{2}}$≤3，
即有1＜m²≤4，由于m∈（-2，2），
当m=0时，O，P重合，λ=1显然成立．
可得m的取值范围是（-2，-1）∪（1，2）∪{0}．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查向量共线的坐标表示，以及直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．