Question

4．已知数列{a_n}中，a_n=2-n，{$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 化简可得$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），从而求其前n项和．

解答 解：∵a_n=2-n，
∴a_2n-1=2-（2n-1）=3-2n，a_2n+1=2-（2n+1）=1-2n，
∴$\frac{1}{{a}_{2n-1}{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（2n-3）（2n-1）}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
∴S_n=$\frac{1}{2}$（-1-1）+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$）
=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{2n-1}$）=-$\frac{n}{2n-1}$．

点评 本题考查了数列通项公式的求法及裂项求和法的应用．