Question

5．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某河流水位X（单位：米）的频率分布直方图如图：将河流水位在以上6段的频率作为相应段的概率，并假设每年河流水位互不影响．

（1）求未来三年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率（结果用分数表示）；
（2）该河流对沿河A企业影响如下：当X∈[23，27）时，不会造成影响；当X∈[27，31）时，损失10000元；当X∈[31，35）时，损失60000元，为减少损失，现有种应对方案：
方案一：防御35米的最高水位，需要工程费用3800元；
方案二：防御不超过31米的水位，需要工程费用2000元；
方案三：不采取措施；
试比较哪种方案较好，并请说理由．

Answer 1

分析 （1）由二项分布求出未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率值；
（2）由随机变量的分布列与均值，计算方案一、二、三的损失是多少，比较选用哪种方案最好．

解答 解：（1）由二项分布得，在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为：
P=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{3}{4}）}^{3}$+${C}_{3}^{1}$•${（\frac{3}{4}）}^{2}$•$\frac{1}{4}$=$\frac{27}{32}$，
所以在未来3年，至多有1年河流水位X∈[27，31）的概率为$\frac{27}{32}$；
（2）由题意知，P（23≤X＜27）=0.74，
P（27≤X＜31）=0.25，
P（31≤X≤35）=0.01；
用X₁、X₂、X₃分别表示采取方案一、二、三的损失，
由题意知，X₁=3800，X₂的分布列如下；

X2	2000	62000
P	0.99	0.01

所以E（X₂）=2000×0.99+62000×0.01=2600；
X₃的分布列如下，

X3	0	10000	60000
P	0.74	0.25	0.01

E（X₃）=60000×0.01+10000×0.25=3100；
因为采用方案二的损失最小，所以采用方案二最好．

点评 本题考查了二项分布的应用问题，也考查了求随机变量的分布列与均值的应用问题，是综合性题目．