Question

10．设A，B为抛物线y²=2px（p＞0）上不同的两点，0为坐标原点，且OA丄OB，则△OAB面积的最小值为4p²．

Answer 1

分析 先设直线的方程为斜截式（有斜率时），代入抛物线，利用OA⊥OB找到k，b的关系，然后利用弦长公式将面积最后表示成k的函数，然后求其最值即可．最后求出没斜率时的直线进行比较得最终结果．

解答 解：当直线斜率存在时，设直线方程为y=kx+b．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得△=（2kb-2p）²-4k²b²＞0，即kb＜$\frac{p}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2p-2kb}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}$，
所以${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+kb（{x}_{1}+{x}_{2}）+{b}^{2}$=$\frac{2bp}{k}$．
所以由OA⊥OB得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{b}^{2}}{{k}^{2}}+\frac{2pbk}{{k}^{2}}=0$
所以b=-2pk，①代入直线方程得y=kx-2pk=k（x-2p），
所以直线l过定点（2p，0）．
再设直线l方程为x=my+2p，代入y²=2px得y²-2pmy-4p²=0，
所以y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-4p²，所以$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{4{m}^{2}{p}^{2}+16{p}^{2}}=\sqrt{（4{m}^{2}+16）{p}^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}+16}p$，
所以S=$\frac{1}{2}×2{p}^{2}×\sqrt{4{m}^{2}+16}$，
所以当m=0时，S的最小值为4p²．
故答案为：4p²．

点评 本题考查了直线和圆锥曲线的位置关系中的弦长问题中的最值问题，一般先结合韦达定理将要求最值的量表示出来，然后利用函数思想或基本不等式求最值即可．