Question

14．已知将函数y=sinx的图象向左平移φ（0＜φ＜$\frac{π}{2}$）个单位，再将所得函数图象上所有的点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到的函数y=f（x）的图象过点（$\frac{π}{4}$，2）
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若tanα=$\frac{1}{2}$，求f（2α+$\frac{5π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）首先根据函数的图象变换求出f（x）=2sin（x+φ），由图象过点（$\frac{π}{4}$，2）并结合范围0＜φ＜$\frac{π}{2}$可得φ，即可得解函数y=f（x）的解析式．
（2）根据（1）的结论及同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式即可化简求值．

解答 解：（1）将函数y=sinx的图象上所有点向左平移φ个单位长度，得到y=sin（x+φ），
再将所得函数图象上所有的点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，得到的函数y=f（x）=2sin（x+φ）的图象，又它过点（$\frac{π}{4}$，2）
可得：2=2sin（$\frac{π}{4}$+φ），解得：$\frac{π}{4}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可得：φ=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
因为：0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
所以可得：φ=$\frac{π}{4}$，
故函数y=f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x+$\frac{π}{4}$）．
（2）∵tanα=$\frac{1}{2}$，
∴f（2α+$\frac{5π}{4}$）=2sin（2α+$\frac{5π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=2sin（2α+$\frac{3π}{2}$）=-2cos2α=-2×$\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}$=-2×$\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=-$\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查了正弦型函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的应用，考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于中档题．