Question

19．设函数f（x）=（a-2）1n（-x）+$\frac{1}{x}$+2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的对数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
（2）求出函数的导数，得到导函数小于0，从而求出函数递减．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（-∞，0），
a=0时，f（x）=-2ln（-x）+$\frac{1}{x}$，x＜0，
f′（x）=-$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-2x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜-$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{2}$＜x＜0，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）递增，在（-$\frac{1}{2}$，0）递减，
∴f（x）_最大值=f（-$\frac{1}{2}$）=2ln2-2；
（2）a＜0时，f′（x）=$\frac{（ax+1）（2x-1）}{{x}^{2}}$，
∵x＜0，a＜0，∴ax+1＞0，2x-1＜0，
∴f′（x）＜0在（-∞，0）恒成立，
∴f（x）在（-∞，0）递减．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．