Question

9．在△ABC中，点D在BC上，∠A=60°，若$\overrightarrow{AD}$=k（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$+$λ\overrightarrow{AB}$，且AB=4，则AD的长为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AG}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，运用平行四边形法则，可得|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{3}$k，再由向量共线定理和平面向量基本定理，可得λ=$\frac{3}{4}$，k=3，即可得到所求值．

解答 解：设$\overrightarrow{AE}$=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$，$\overrightarrow{AG}$=$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，
可得|$\overrightarrow{AE}$|=|$\overrightarrow{AG}$|=1，∠EAF=∠GAF=30°，
即有|$\overrightarrow{AF}$|=$\sqrt{3}$，
|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{3}$k，
又B，D，C共线，可得$\frac{1}{4}$+λ=1，即λ=$\frac{3}{4}$，
由k（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$，
可得$\frac{k}{4}$=$\frac{3}{4}$，即k=3，
则|$\overrightarrow{AD}$|=3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的模的求法，注意运用向量的平行四边形法则和向量共线的定理，以及平面向量基本定理，属于中档题．