Question

5．在等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，a₆=12，S₄=20．
（1）求S_n；
（2）是否存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．若存在，求出数列{b_n}的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，由已知列方程组求得首项和公差，则等差数列的前n项和可求；
（2）求出等差数列的通项公式，结合b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉求出等比数列的前3项，说明存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．并求得等比数列的通项公式．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，
由a₆=12，S₄=20，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+5d=12}\\{4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d=20}\end{array}\right.$，解得：a₁=d=2．
∴${S}_{n}=2n+\frac{2n（n-1）}{2}={n}^{2}+n$；
（2）由（1）知，a_n=2+2（n-1）=2n，
b₁=a₁=2，b₂=a₃=6，b₃=a₉=18，
∴存在等比数列{b_n}满足b₁=a₁，b₂=a₃，b₃=a₉．
此时b₁=2，q=3，
∴${b}_{n}=2•{3}^{n-1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差数列的前n项和，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．