Question

13．已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-{t}^{2}}\end{array}\right.$，直线l的极坐标方程为4ρcosθ+3ρsinθ=8，则曲线C上的点到直线l的距离的最小值是$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 求出直线l的直角坐标方程，使用参数方程得出点到直线的距离为关于参数t的函数，求出此距离函数的最小值．

解答 解：直线l的直角坐标方程为4x+3y-8=0．
∴曲线C上的点到直线l的距离d=$\frac{|4t-3{t}^{2}-8|}{5}$=$\frac{|3{t}^{2}-4t+8|}{5}$=$\frac{|3（t-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{20}{3}|}{5}$．
∴当t=$\frac{2}{3}$时，d取得最小值$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离的应用，属于基础题．