Question

8．已知数列{a_n}满足：a_n+2=4a_n+1-4a_n，且a₁=1，a₂=6．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）把已知数列递推式变形，得到a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），即可说明数列{b_n}是等比数列；
（2）由（1）中的等比数列求得数列{b_n}的通项公式，然后构造等差数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}，求出等差数列的通项公式后得答案．

解答 （1）证明：由a_n+2=4a_n+1-4a_n，得
a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
∵a₁=1，a₂=6，∴a₂-2a₁=6-2=4≠0，
则$\frac{{a}_{n+2}-2{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}=2$，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=2$．
∴数列{b_n}是公比为2的等比数列；
（2）由（1）得，${b}_{n}={b}_{1}•{q}^{n-1}=4•{2}^{n-1}={2}^{n+1}$，
即a_n+1-2a_n =2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=1$，则数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{1}{2}$为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}=\frac{1}{2}+1×（n-1）=n-\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=（n-\frac{1}{2}）•{2}^{n}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系与等差关系的确定，训练了等差数列与等比数列通项公式的求法，是中档题．