Question

16．函数f（x）是定义在区间（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且满足xf′（x）＞-2f（x），则不等式$\frac{（x+2015）^{2}f（x+2015）}{16}$＜f（-4）的解集为（　　）

• A． {x|-2019＜x＜0}
• B． {x|x＜-2019}
• C． {x|-2019＜x＜-2015}
• D． {x|-2011＜x＜0}

Answer 1

分析 令g（x）=x²f（x），求导g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=x（xf′（x）+2f（x）），从而可得g（x）在（-∞，0）上是减函数，从而解得．

解答 解：令g（x）=x²f（x）（x＜0），
g′（x）=x²f′（x）+2xf（x）=x（xf′（x）+2f（x）），
∵2f（x）+xf′（x）＞0，x＜0；
∴x（xf′（x）+2f（x））＜0，
∴g（x）=x²f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴（x+2015）²f（x+2015）＜16f（-4）可化为
（x+2015）²f（x+2015）＜16f（-4）=（-4）²f（-4），
∴0＞x+2015＞-4，
故-2015＞x＞-2019；
故选：C．

点评 本题考查了导数的综合应用及单调性的应用．