Question

11．数列{a_n），a₁=3，a_n+1=2a_n+2ⁿ（n≥1），求a_n．

Answer 1

分析 a_n+1=2a_n+2ⁿ（n≥1），变形为$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：a_n+1=2a_n+2ⁿ（n≥1），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{3}{2}$，公差为$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}（n-1）$，
a_n=（n+2）•2^n-1．

点评 本题考查了递推公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．