Question

1．已知函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$．数列{a_n}满足：a_n＞0，a₁=1，且$\sqrt{{a}_{n+1}}$=f（$\sqrt{{a}_{n}}$），求a_n．

Answer 1

分析 由已知可得$\sqrt{{a}_{n+1}}=\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}}+1}$，取倒数后可得数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，然后由等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{x}{x+1}$，且$\sqrt{{a}_{n+1}}$=f（$\sqrt{{a}_{n}}$），
得$\sqrt{{a}_{n+1}}=\frac{\sqrt{{a}_{n}}}{\sqrt{{a}_{n}}+1}$，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n+1}}}=\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}+1$，即$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}+1}}-\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}=1$，
又a₁=1，
∴数列{$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
则$\frac{1}{\sqrt{{a}_{n}}}=1+1×（n-1）=n$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{n}^{2}}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，考查等差关系的确定，是中档题．