Question

12．设函数f（x）满足x³f′（x）+3x²f（x）=1+lnx，且f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，则x＞0时，f（x）（　　）

• A． 有极大值，无极小值
• B． 有极小值，无极大值
• C． 既有极大值又有极小值
• D． 既无极大值也无极小值

Answer 1

分析 令g（x）=x³f（x），利用导数的运算法则，构造新函数，确定函数的解析式，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系，即可求得结论．

解答 解：∵令g（x）=x³f（x），
则g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=1+lnx，
∴g（x）=x•lnx+c，
∵f（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴（$\sqrt{e}$）³f（$\sqrt{e}$）=（$\sqrt{e}$）³•$\frac{1}{2e}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$，
即g（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$•ln$\sqrt{e}$+c=$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$，
则$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$+c═$\frac{1}{2}$$\sqrt{e}$，得c=0，
则g（x）=x•lnx，
即g（x）=x³f（x）=x•lnx，
则f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞0时，f′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
由f′（x）=0得1-2lnx=0，得x=$\sqrt{e}$，
当f′（x）＜0时得，x＞$\sqrt{e}$，
当f′（x）＞0时得，0＜x＜$\sqrt{e}$，
当x=$\sqrt{e}$时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值f（$\sqrt{e}$）=$\frac{ln\sqrt{e}}{（\sqrt{e}）^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{e}$=$\frac{1}{2e}$，无最小值，
故选：A

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，考查学生分析解决问题的能力，构造函数，求函数的导数和解析式是解决本题的关键．难度较大．