Question

17．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥平面PAC，∠APC=90°，E是AB的中点，M是CE的中点，N点在PB上，且4PN=PB．
（Ⅰ）证明：平面PCE⊥平面PAB；
（Ⅱ）证明：MN∥平面PAC．

Answer 1

分析 （I）由AB⊥平面PAC可得AB⊥PC，再结合AP⊥PC得出PC⊥平面PAB，故而平面PCE⊥平面PAB；
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，则可证明平面MNQ∥平面PAC，故而MN∥平面PAC．

解答 证明：（I）∵AB⊥平面PAC，PC?平面PAC，
∴AB⊥PC，
∵∠APC=90°，∴AP⊥PC，
又∵AP?平面PAB，AB?平面PAB，AP∩AB=A，
∴PC⊥平面PAB，∵PC?平面PCE，
∴平面PCE⊥平面PAB．
（II）取AE中点Q，连结NQ，MQ，
∵M是CE中点，∴MQ∥AC，
∵PB=4PN，AB=4AQ，
∴QN∥AP，
又∵AP∩PC=P，AP?平面APC，PC?平面APC，QN∩QM=Q，QN?平面MNQ，QM?平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PAC，
∵MN?平面MNQ，
∴MN∥平面PAC．

点评 本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，构造平行平面是常用解题方法之一．