Question

2．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos2x，求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用两角和的正弦函数化简函数的解析式为一个角的一个三角函数的形式，然后求解周期．
（2）利用正弦函数的单调区间求解即可．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+cos2x=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（1）函数f（x）的最小正周期：T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）因为2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
函数f（x）的单调增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
单调减区间为：[kπ+$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{7π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题考查三角函数的恒等变换的应用，函数的周期以及正弦函数的单调性的求法，考查计算能力．