Question

20．已知数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$．数列a₁，a₂，a${\;}_{{b}_{1}}$，a${\;}_{{b}_{2}}$，a${\;}_{{b}_{3}}$，…，a${\;}_{{b}_{n}}$，…成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意知$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，从而可得a_n=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₁=1，a₂=2，a${\;}_{{b}_{n}}$=b_n，从而可得1，2，b₁，b₂，…，b_n成等比数列，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a₁=1，a₂=2，a${\;}_{{b}_{n}}$=b_n，
故1，2，b₁，b₂，…，b_n成等比数列，
故b₁=4，q=2，
故b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
故S_n=$\frac{4（1-{2}^{n}）}{1-2}$=4（2ⁿ-1）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的判断与应用．