Question

8．已知实数x，y满足|2x+y-2|≥|6-x-3y|且|x|≤4，则|3x-4y|的最大值为32．

Answer 1

分析 根据条件画出（x，y）的范围，求出可行域内的点到直线3x-4y=0的距离的最大值，可得|3x-4y|的最大值．

解答 解：实数x，y满足|2x+y-2|≥|6-x-3y|，
即|2x+y-2|≥|x+3y-6|，且|x|≤4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x+3y-6≥0}\\{x-2y+4≥0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≤0}\\{x+3y-6≤0}\\{x-2y+4≤0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ②，
或$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≥0}\\{x+3y-6≤0}\\{3x+4y-8≥0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ③，或$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-2≤0}\\{x+3y-6≥0}\\{3x+4y-8≤0}\\{-4≤x≤4}\end{array}\right.$ ④．
由①②③④可得点（x，y）的可行域如图
（阴影部分）：
由于可行域内的点A（-4，5）到直线3x-4y=0
的距离的最大值为$\frac{|3×（-4）-4×5|}{5}$=$\frac{32}{5}$，
故|3x-4y|的最大值为32，
故答案为：32．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，简单的线性规划，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．