Question

3．设x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x+y≤3，\;\;}\\{-1≤x-y≤0}\end{array}}\right.$且z=2x-y+a（a为常数）的最大值为2，则实数a=-1．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABCD）．
令z=z₁+a，
由z₁=2x-y得y=2x-z₁，
平移直线y=2x-z₁，
由图象可知当直线y=2x-z₁经过点A时，直线y=2x-z₁的截距最小，
此时z最大．
由 $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，解 $\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（3，3）
将A（3，3）的坐标代入目标函数z₁=2x-y，
得z₁=6-3=3．即z₁=2x-y的最大值为3，
∴3+a=2，解得：a=-1，
故答案为：-1．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．