Question

15．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b=3，c=1，A=2B，则cosB的值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 利用正弦定理，二倍角公式结合已知可得$\frac{a}{2sinBcosB}=\frac{3}{sinB}$，整理得a=6cosB，由余弦定理可解得a的值，可求cosB的值．

解答 解：∵A=2B，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，b=3，c=1，
∴可得：$\frac{a}{2sinBcosB}=\frac{3}{sinB}$，可得：a=6cosB，
∴由余弦定理可得：a=6×$\frac{{a}^{2}+1-9}{2a}$，
∴a=2$\sqrt{3}$，
∴cosB=$\frac{a}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，二倍角公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．