Question

4．已知定义在R上的二次函数f（x）为偶函数，且满足f（1）=6，f（3）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[a，b]上值域为[2a，2b]，试求所有符合题意的[a，b]．

Answer 1

分析 （1）根据函数的奇偶性设出函数的表达式，根据f（1）=6，f（3）=2，得到关于a，c的方程组，解出即可；
（2）二次函数f（x）是开口朝下，且以y轴为对称轴的抛物线，分类讨论给定区间与对称轴的关系，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）为偶函数，
∴设f（x）=ax²+c，满足f（1）=6，f（3）=2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a+c=6}\\{f（3）=9a+c=2}\end{array}\right.$，解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{13}{2}$，
∴f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{13}{2}$；
（2）二次函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{13}{2}$是开口朝下，且以y轴为对称轴的抛物线，
当x=0时，函数取最大值$\frac{13}{2}$，
若a＜b≤0，则 $\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}a}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\\{-{\frac{1}{2}b}^{2}+\frac{13}{2}=2b}\end{array}\right.$，不存在满足条件的a，b；
若0≤a＜b，则 $\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}a}^{2}+\frac{13}{2}=2b}\\{-{\frac{1}{2}b}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\end{array}\right.$不存在满足条件的a，b；
若a＜0＜b，则2b=$\frac{13}{2}$，解得：b=$\frac{13}{4}$，$\left\{\begin{array}{l}{-{\frac{1}{2}a}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\\{a＜0}\end{array}\right.$，
解得：a=-2-$\sqrt{17}$，
综上可得：a=-2-$\sqrt{17}$，b=$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．