Question

7．已知数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{5}$，且当n≥2，有$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$．
（1）求证：数列 {$\frac{1}{an}$}为等差数列；
（2）试问a₁a₂是否是数列{a_n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由原递推式化简，可得$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=4$（n≥2），说明数列 {$\frac{1}{an}$}为等差数列；
（2）由（1）求出数列{a_n}的通项公式，验证可知a₁a₂是数列{a_n}中的第11项．

解答 （1）证明：由$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{2{a}_{n-1}+1}{1-2{a}_{n}}$，得a_n-1-2a_n-1a_n=2a_n-1a_n+a_n，
即a_n-1-a_n=4a_n-1a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n-1}}=4$（n≥2），
∴数列 {$\frac{1}{an}$}为等差数列；
（2）解：由{$\frac{1}{an}$}为等差数列，公差为4，且$\frac{1}{{a}_{1}}=5$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=5+4（n-1）=4n+1$，则${a}_{n}=\frac{1}{4n+1}$．
∴a₁a₂=$\frac{1}{45}$，若$\frac{1}{45}=\frac{1}{4n+1}$，得n=11．
则a₁a₂是数列{a_n}中的第11项．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，是中档题．