Question

18．设定义在（0，+∞）上的单调函数f（x）对任意的x∈（0，+∞）都有f（f（x）-log₂x）=6，则不等式f（x）＞3的解集为（　　）

• A． {x|x＞1}
• B． {x|x＞$\frac{1}{2}$}
• C． {x|0＜x＜1}
• D． {x|0＜x＜2}

Answer 1

分析 根据函数单调性的关系利用换元法设f（x）-log₂x=t，求出函数f（x）的解析式进行求解即可．

解答 解：∵定义在（0，+∞）上f（x）是单调函数，
∴令f（x）-log₂x=t，则f（x）=log₂x+t，
则由f（f（x）-log₂x）=6得f（t）=6，
当x=t时，f（t）=log₂t+t=6，
得t=4，
即f（x）=log₂x+4，
则由f（x）＞3得log₂x+4＞3得log₂x＞-1，即x＞$\frac{1}{2}$，
故不等式的解集为{x|x＞$\frac{1}{2}$}，
故选：B

点评 本题主要考查不等式的求解，根据函数单调性的性质利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．