Question

2．在数列{a_n}中，a₁₄=2，a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，求a₁．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得${a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}}$，代入a₁₄=2，依次求出数列的部分项，可得数列{a_n}中的项以3为周期周期出现，由此求得a₁．

解答 解：由a_n+1=$\frac{1}{1-{a}_{n}}$，得${a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}}$，
∵a₁₄=2，∴${a}_{13}=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$，${a}_{12}=\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}}=-1$，${a}_{11}=\frac{-1-1}{-1}=2$，
∴由上可知，数列{a_n}中的项以3为周期周期出现，
则${a}_{1}={a}_{13}=\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的周期性，是基础题．