Question

11．已知过点P（0，-1）的直线与曲线y=1nx相切，这条直线也与曲线y=ax²+5x+1（α≠0）相切，则a的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 设出所求切线方程的切点坐标和斜率，把切点坐标代入曲线方程得到一个等式，根据切点坐标和斜率写出切线的方程，把切点坐标代入又得到一个等式，联立方程组即可求出切点的横坐标，进而得到切线的斜率，根据已知点的坐标和求出的斜率写出切线方程，再根据与y=ax²+5x+1相切，联立方程组，△=0可求出所求．

解答 解：设直线与曲线y=lnx的切点坐标为（x₀，y₀），
函数y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，
则y₀=lnx₀，$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$，
解得x₀=1，y₀=0，
则切线的斜率k=1，
此时切线的方程为y=x-1，
由y=x-1与y=ax²+5x+1，
消去y，可得ax²+4x+2=0，
由△=0，即16-8a=0，
解可得a=2．
故选：B．

点评 本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道中档题．