Question

3．已知α∈（0，π），且sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求sinα-cosα的值．

Answer 1

分析 把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系变形求出2sinαcosα的值，进而判断出sinα-cosα的正负，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系即可求出sinα-cosα的值．

解答 解：把sinα+cosα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$①，两边平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{1}{2}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{1}{2}$，
∵α∈（0，π），
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{3}{2}$，
∴sinα-cosα=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．