Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，M为AB边上一点，$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$（λ∈R）且$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$．又已知|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，a²+b²=2$\sqrt{2}$ab，则角C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$）•$\overrightarrow{AB}$=-|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AB}$|=0，可得$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{AB}$，

解答 解：如图所示，
∵$\overrightarrow{MP}$=$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$，
∴$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{CA}|cosA}$+$\frac{\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CB}|cosB}$）•$\overrightarrow{AB}$=-|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{AB}$|=0，
∴$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{AB}$，
又$\overrightarrow{CM}$=λ$\overrightarrow{MP}$，C、M、P三点共线，
∴CM⊥AB，
又|$\overrightarrow{CM}$|=$\frac{c}{2}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{{c}^{2}}{4}$，
∴c²=2absinC，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\sqrt{2}$=sinC，即sinC+cosC=$\sqrt{2}$，得sin（C+$\frac{π}{4}$）=1，所以C=$\frac{π}{4}$．

点评 考查余弦函数的定义，向量的数乘运算，以及向量加法的平行四边形法则，平面向量基本定理，直径所对圆周角为直角．