Question

13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+2c．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若向量$\overrightarrow{BA}$在向量$\overrightarrow{BC}$方向上的投影为$\frac{33}{14}$，且sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，求b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理及两角和的正弦公式可得sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC=sin（A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，整理可求A．
（Ⅱ）由题意可求cosC，sinB，cosB，tanB，由tanB=$\frac{AD}{\frac{33}{14}}$，解得AD，由sinC=$\frac{AD}{b}$，可解得b的值．

解答 解：（Ⅰ）∵acosC+$\sqrt{3}$asinC=b+2c，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+2sinC=sin（A+C）+2sinC=sinAcosC+sinCcosA+2sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosA=2，
∴sin（A-30°）=1，
∴A-30°=90°，
∴A=120°．
（Ⅱ）如图，AD⊥BC，∵A=120°，sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，可得：cosC=$\frac{13}{14}$，
∴sinB=sin（A+C）=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{13}{14}$-$\frac{1}{2}×\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，cosB=$\frac{11}{14}$，tanB=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$，
∴tanB=$\frac{5\sqrt{3}}{11}$=$\frac{AD}{\frac{33}{14}}$，解得：AD=$\frac{15\sqrt{3}}{14}$，
∴由sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=$\frac{AD}{b}$，可得：b=$\frac{14×\frac{15\sqrt{3}}{14}}{3\sqrt{3}}$=5．

点评 本题综合考查了三角公式中的正弦定理及两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式的应用，诱导公式与辅助角公式在三角函数化简中的应用是求解的基础，解题的关键是熟练掌握基本公式，属于中档题．