Question

18．已知函数$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$．
（1）求f（x）的周期．
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的最大值、最小值及对应的x值．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数公式化为f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．即可求解周期．
（2）根据范围得出$\frac{π}{6}$$≤2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，利用单调性求解即可．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=2{cos^2}x+2\sqrt{3}sinxcosx-1$．
∴函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
∴f（x）的周期T=$\frac{2π}{2}$=π
即T=π
（2）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$
∴$\frac{π}{6}$$≤2x+\frac{π}{6}$$≤\frac{7π}{6}$，
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2
最大值2，2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，此时$x=\frac{π}{6}$，
最小值-1，2x$+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$  此时$x=\frac{π}{2}$

点评 本题简单的考察了三角函数的性质，单调性，周期性，熟练化为一个角的三角函数形式即可．