Question

13．数列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，3a_n+2=2a_n+1+a_n，求a_n．

Answer 1

分析 由3a_n+2=2a_n+1+a_n，变形为：a_n+2-a_n+1=-$\frac{1}{3}$（a_n+1-a_n），利用等比数列的通项公式、“累加求和”即可得出．

解答 解：由3a_n+2=2a_n+1+a_n，
变形为：a_n+2-a_n+1=-$\frac{1}{3}$（a_n+1-a_n），
∴数列{a_n+1-a_n}是等比数列，首项为1，公比为-$\frac{1}{3}$．
∴a_n+1-a_n=$（-\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=$（-\frac{1}{3}）^{n-2}$+$（-\frac{1}{3}）^{n-3}$+…+$（-\frac{1}{3}）$+1+1
=$\frac{1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}}{1-（-\frac{1}{3}）}$+1
=$\frac{3}{4}$$[1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}]$+1．当n=1，2时也成立．
∴a_n=$\frac{3}{4}$$[1-（-\frac{1}{3}）^{n-1}]$+1．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．