Question

8．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，且$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，若向量的模|$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=1，则|$\overrightarrow{c}$|的最小值为$\sqrt{5}$-1．

Answer 1

分析 根据平面向量的几何意义，作出图形，找出$\overrightarrow{c}$的终点轨迹，利用几何知识得出最小值．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}$．
∵$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=0，∴OA⊥OB，∴AB=$\sqrt{5}$．
∵|$\overrightarrow{c}$$-\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=1，
∴C的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．
∴|$\overrightarrow{c}$|的最小值是AB-1=$\sqrt{5}-1$．
故答案为$\sqrt{5}-1$．

点评 本题考查了平面向量的几何意义，属于基础题．