Question

14．已知tanα=$\frac{1}{3}$，cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，且0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$＜β＜2π，则α+β=$\frac{7π}{4}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求出sinα，可得tanα 的值，利用两角和的正切公式计算tan（α+β）=1，再由α+β的范围求出α+β 的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$＜β＜2π，
∴$\frac{3π}{2}$＜α+β＜$\frac{5π}{2}$，
∵cosβ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\frac{3π}{2}$＜β＜2π，
∴sinβ=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴tanβ=-2，
∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{\frac{1}{3}-2}{1+\frac{2}{3}}$=-1，
∴α+β=$\frac{7π}{4}$
故答案为：$\frac{7π}{4}$．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，根据三角函数的值求角，求出tan（α+β）=-1，是解题的关键．