Question

4．在△ABC中，如果acosB+acosC=b+c．试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 法1：可利用余弦定理将cosB与cosC化为边的关系，整理可得a²=b²+c²，利用勾股定理即可判断△ABC的形状．
法2：由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则可求acosB+acosC≤b+c，即可判断△ABC的形状为直角三角形．

解答 解：法1：在△ABC中，∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴acosB+acosC=a$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+a$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}b+b{c}^{2}-{b}^{3}+{b}^{2}c+{a}^{2}c-{c}^{3}}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}（b+c）+bc（b+c）-{b}^{3}-{c}^{3}}{2bc}$
=$\frac{{a}^{2}（b+c）+bc（b+c）-（b+c）（{b}^{2}-bc+{c}^{2}）}{2bc}$=b+c，∵b+c＞0，
∴a²-b²-c²+2bc=2bc，
∴a²=b²+c²，
故△ABC的形状为直角三角形．
法2：在△ABC中，由acosB+acosC=b+c可知，∠B，∠C不可能为钝角，过点C向AB作垂线，垂足为D，则acosB=BD≤BA=c，同理acosC≤b，
∴acosB+acosC≤b+c，
又∵acosB+acosC=b+c，
∴acosB=c，acosC=b，∴∠A=90°；
故△ABC的形状为直角三角形．

点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查余弦定理与化简运算的能力，属于中档题．