Question

1．已知△ABC中，A、B、C分别是三个内角，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，且a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$．
（1）求△ABC的周长的最大值．
（2）求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2，从而表示出l=a+b+c=$\sqrt{3}$+2（sinB+sinC），从而利用和差化积公式求最值；
（2）化简S=$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$sinBsinC，从而利用积化和差公式求最值．

解答 解：（1）∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2，
∴△ABC的周长l=a+b+c
=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC
=$\sqrt{3}$+2（sinB+sinC）
=$\sqrt{3}$+4sin$\frac{B+C}{2}$cos$\frac{B-C}{2}$
=$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$cos$\frac{B-C}{2}$，
故当B=C=$\frac{π}{3}$时，有最大值3$\sqrt{3}$；
（2）S=$\frac{1}{2}$absinC
=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2sinBsinC
=$\sqrt{3}$sinBsinC
=$\sqrt{3}$•（-$\frac{1}{2}$）[cos（B+C）-cos（B-C）]
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（cos（B-C）-cos（B+C））
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（cos（B-C）+$\frac{1}{2}$），
故当B=C=$\frac{π}{3}$时，有最大值$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了解三角形的应用及三角恒等变换的应用，属于中档题．