Question

12．已知椭圆C的焦点坐标为F₁（-1，0），F₂（1，0），过F₂且垂直于长轴的直线交椭圆C于P，Q两点，且|PQ|=3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若在y轴上的截距为2的直线l与椭圆C分别交于M，N两点，O为坐标原点，且直线OM，ON的斜率之和为1，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由题意知c=1，$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，从而解得$a=2，b=\sqrt{3}$，从而解得；
（2）设l的方程为y=kx+2，M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），从而联立方程化简可得（4k²+3）x²+16kx+4=0，利用韦达定理求解即可．

解答 解：（1）依题意可设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
由焦点坐标可得c=1．
由|PQ|=3，可得$\frac{{2{b^2}}}{a}=3$，又c²=a²-b²，
解得，$a=2，b=\sqrt{3}$，
故椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）设l的方程为y=kx+2，M（x₁，y₂），N（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
化简可得（4k²+3）x²+16kx+4=0，
∵△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，
∴k²＞$\frac{1}{4}$，
故k＜-$\frac{1}{2}$或k＞$\frac{1}{2}$；
又∵x₁+x₂=-$\frac{16k}{4{k}^{2}+3}$，x₁x₂=$\frac{4}{4{k}^{2}+3}$，
∴${k_{OM}}+{k_{ON}}=\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=\frac{{k{x_1}+2}}{x_1}+\frac{{k{x_2}+2}}{x_2}=2k+\frac{{2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$
=2k+$\frac{-32k}{4}$=-6k=1，
故k=-$\frac{1}{6}$（舍去）；
故直线l不存在．

点评 本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及学生的化简运算能力．