Question

2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁、F₂在x轴上，M是长轴的一个端点，并且|F₁M|：|F₁F₂|=|F₁F₂|：|F₂M|，直线l：y=x截椭圆所得的弦长是2．求该椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），将直线y=x代入椭圆方程，求得交点，运用两点的距离公式，再由条件可得4c²=（a-c）（a+c）=a²-c²，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程．

解答 解：设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
直线y=x代入椭圆方程，可得x=±$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
交点为（$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$），（-$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，-$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$），
弦长为$\frac{2\sqrt{2}ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2，
即有a²+b²=2a²b²，
又|F₁M|：|F₁F₂|=|F₁F₂|：|F₂M|，
可得4c²=（a-c）（a+c）=a²-c²，
即a²=5c²，a²-b²=c²，
解得a²=$\frac{9}{8}$，b²=$\frac{9}{10}$，
即有椭圆方程为$\frac{8{x}^{2}}{9}$+$\frac{10{y}^{2}}{9}$=1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用直线和椭圆方程联立，求得交点，运用两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．