Question

14．用数学归纳法证明（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（n-$\frac{1}{{n}^{2}}$）=$\frac{n+1}{2n}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 根据数学归纳法的证题步骤，先证n=2时，等式成立；再假设n=k时，等式成立，再证n=k+1时等式成立．

解答 证明：（1）当n=2时，左边=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，右边=$\frac{2+1}{4}$=$\frac{3}{4}$，∴左边=右边；
（2）假设当n=k时成立，即（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$，
则当n=k+1时（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）…（1-$\frac{1}{{k}^{2}}$）（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$（1-$\frac{1}{（k+1）^{2}}$）=$\frac{k+1}{2k}$•$\frac{k（k+2）}{（k+1）^{2}}$=$\frac{k+2}{2（k+1）}$，
因此当n=k+1时，等式成立．
综上可得：等式对?n∈N^*（n≥2）成立．

点评 本题考查了数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．