Question

6．在△ABC中，（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$）=0，|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=3，A∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值是$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根据题意，得出$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，且AD平分∠BAC；又|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=3，A∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
再利用数量积的定义与基本不等式求出$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值．

解答 解：△ABC中，（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•（$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$）=0，
∴（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
∴$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，且AD平分∠BAC；

又|$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$|=3，
∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{3}{2}$，如图所示；
又A∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的最大值是|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|≤$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{4}$${（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）}^{2}$=$\frac{9}{8}$．
故答案为：$\frac{9}{8}$．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数量积与基本不等式的应用问题，是综合性题目．