Question

2．设函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），则满足上述条件的f（x）可以是（　　）

• A． f（x）=cos$\frac{πx}{3}$
• B． $f（x）=sin\frac{πx}{3}$
• C． f（x）=2cos²$\frac{πx}{6}$
• D． f（x）=2cos²$\frac{πx}{12}$

Answer 1

分析 根据抽象函数关系结合函数奇偶性的性质求出f（3）=0，从而得到函数的周期是6，结合三角函数的周期性进行判断即可．

解答 解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，函数f（x）是偶函数，
∴f（3）=0．
∴f（x+6）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数，
A．函数的周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}π}$=6，f（3）=cosπ=-1，不满足条件f（3）=0．
B.$f（x）=sin\frac{πx}{3}$是奇函数，不满足条件．
C．f（x）=2cos²$\frac{πx}{6}$=1+cos$\frac{πx}{3}$，则函数的周期是T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}π}$=6，f（3）=1+cosπ=1-1=0，满足条件．
D．f（x）=2cos²$\frac{πx}{12}$=1+cos$\frac{πx}{6}$，则函数的周期是T=$\frac{2π}{\frac{π}{6}}$=12，不满足条件．
故选：C．

点评 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数的奇偶性得到函数的周期性，结合三角函数的周期性是解决本题的关键．