Question

11．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的一条渐近线的斜率的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），求焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 由双曲线一条渐近线的斜率的取值范围求出3＜m＜5，由此能求出焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e的取值范围．

解答 解：∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的一条渐近线的斜率的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜\frac{\sqrt{m}}{2}＜\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得3＜m＜5，
∴焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1中，
a=$\sqrt{5}$，$\sqrt{3}＜b=\sqrt{m}＜\sqrt{5}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{5-m}}{\sqrt{5}}$∈（0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$）．
∴焦点在x轴上的椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的离心率e的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{10}}{5}$）．

点评 本题考查椭圆的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线、椭圆的性质的合理运用．