Question

19．模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的2×2列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为$\frac{3}{10}$．

	优秀	非优秀	合计
甲班	10
乙班		30
合计			100

（1）请完成上面的2×2列联表
（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？
（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生恰有2人的概率．
参考公式与临界表：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k）	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析 （1）设求出乙班优秀人数，填写列联表即可；
（2）计算观测值K²，对照数表得出概率结论；
（3）利用分层抽样求出所抽的6人中甲班、乙班的学生数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率即可．

解答 解：（1）设乙班优秀人数为x人，则$\frac{10+x}{100}$=$\frac{3}{10}$，解得x=20；
故列联表如下：

	优秀	非优秀	合计
甲班	10	40	50
乙班	20	30	50
合计	30	70	100

（2）K²=$\frac{10{0（10×30-40×20）}^{2}}{50×50×30×70}$≈4.762＜5.024，
故没有达到可靠性要求，不能认为成绩与班级有关系；
（3）在所抽的6人中，甲班有$\frac{10}{30}$×6=2人，设为A、B，
乙班有$\frac{20}{30}$×6=4人，设为C、D、E、F，
从这6人中任选3人，基本事件有
ABC、ABD、ABE、ABF、ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、
BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、BEF、CDE、CDF、CEF、DEF共20种，
其中甲班恰有2人的事件为ABC、ABD、ABE、ABF共4种，
所以所求的概率为P=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了对立性检验问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．